Né et scolarisé à Weston-super-Mare (ouest de l'Angleterre), Lance Dossor démarra sa carrière très rapidement lorsque, à peine âgé de 16 ans, il obtint une bourse pour le Royal College of Music de Londres. Il y étudia le piano avec Herbert Fryer et la composition avec Herbert Howells, et remporta de nombreux prix et récompenses.

Il connut une série de succès lors de concours internationaux de piano, parmi lesquels le Prix Franz Liszt lors du troisième Concours International de Vienne (1936), le quatrième Prix et un Prix Spécial lors du troisième Concours de Piano Chopin à Varsovie (1937), et le quatrième prix au Concours Reine Elisabeth en 1938.

Lance Dossor fut brièvement employé à l'administration du Royal College of Music, avant d'être mobilisé pour son service militaire en 1939. Il fut envoyé dans l'Artillerie Royale, et y servit en Egypte. Il fut ensuite invité à entrer dans l'ENSA (chargé du divertissement des troupes) et, bien que toujours part de l'Artillerie Royale, il réalisa une tournée en Allemagne et en Italie. Il resta en uniforme jusqu'en 1946, lorsqu'il rejoignit l'administration du Royal College of Music, désormais professeur de piano à plein temps.

En 1953, le quatrième doyen d'Elder Conservatorium, John Bishop, engagea Lance Dossor pour un contrat initialement de trois ans. Il y resta, et devint une figure centrale dans la vie musicale de l'Université d'Adelaide. Après avoir pris sa retraite, à la fin des années 1970, il continuer à enseigner à mi-temps pendant encore près de 20 ans.